Question

вычислить sin(1/2 arccos 1/9)

Answer 1

Обозначим $arccos frac{1}{9} = alpha , 0 leq alpha leq pi$ 

По определению арккосинуса, угол α  в I или II четверти.

Значит  $cos alpha = frac{1}{9} , 0 leq alpha leq frac{ pi }{2}$

Косинус положительный в I и IY четверти. Из вышесказанного следует, что угол α в первой четверти, а значит синус этого угла и синус половинного угла положительны.

По формуле косинуса двойного угла :

$cos alpha =1-2sin ^{2} frac{ alpha }{2}$

$sin ( frac{1}{2}arccos frac{1}{9})= sin frac{ alpha }{2} =+ sqrt{ frac{1-cos alpha }{2} } = sqrt{ frac{1- frac{1}{9} }{2} } = sqrt{ frac{4}{9} } = frac{2}{3}$