Question

Решить задачу: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $3 sqrt{5}$м.
Определить катеты, если известно, что после того, как один из них увеличить на $133 frac{1}{3}$%, а другой на $16 frac{2}{3}$%, то сумма их длин сделается равной 14м.

Answer 1

Пусть изначально был прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и
гипотенузой $3 sqrt{5}$.Тогда для этого треугольника справедлива теорема Пифагора: $a^{2} + b^{2} =45$.Далее,после того как катеты увеличили,
получили, что их сумма - 14: $a+ (frac{400}{3} a)/100+b+ (frac{50}{3} b)/100=14.$Преобразуем это выражение: $a+ frac{4}{3} a+b+ frac{1}{6} b=14, 14a+7b=84, 2a+b=12.$.Вместе с предыдущим равенством,получаем систему:
$left { {{2a+b=12}, atop { a^{2}+ b^{2} =45 }} right. ; left { {{b=12-2a}, atop {a^{2}+ (12-2a)^{2}=45 }} right. ; left { {{b=12-2a} atop {5 a^{2}-48a+99=0 }} right. ; left { {{a=3} atop {b=6}} right.$ (Второй корень не подходит, так как тогда b<0).Непосредственной проверкой можно убедиться,что данная пара чисел подходит.
Ответ: (3;6).