Question

Решить уравнение $(x+4)( x^{2} +4)=5- 2^{x+4} -16( sqrt{2})^{x}$.

Answer 1

Рассмотрим выражение в правой части:
$5-2 ^{x+4}- 16( sqrt{2}) ^{x} =( (sqrt{2}) ^{x}+ frac{5}{4} )( ( sqrt{2}) ^{x}- frac{1}{4})$
Это лекго получить если рассмотреть квадратный трехчлен -16t²-16t+5, где
$(sqrt{2}) ^{x} =t$

Корень х=-4.

Осталось доказать, что он единственный.
Решаем уравнение графически.
Для этого рассмотрим функцию слева y=(x+4)(x²+4).
Производная у`=x²+4+2x(x+4)=3x²+8x+4
точки возможного экстремума: х=-2 и х=-2/3
Проверив знак производной, убеждаемся, что х=-2 - точка локального максимума, х=-2/3 - точка локального минимума.
Функция пересекает ось ох в точке х=-4

Строим график функции ( см. рисунок)

Исследуем функцию справа:

$y=5-16cdot 2^{x} -16( sqrt{2}) ^{x}$

$y`=-16cdot2 ^{x} ln2-16cdot 2 ^{ frac{x}{2} }cdot frac{1}{2}cdot ln2=-8cdot ln2(2 ^{x+1}+2 ^{ frac{x}{2}) } <0$
при любом х, так как показательная функция принимает только положительные значения
значит фугнция справа убывает, пересекает ось ох в единственной точке х=4 и других общих точек с графиком y=(x+4)(x²+4) не имеет