Question

Докажите, что 1990^n - 1 не делится на 1000^n - 1

Answer 1

  Положим что $n=2x$ 
 $frac{1990^{2x}-1^{2x}}{1000^{2x}-1} = frac{(1900-1)(1900+1)*A}{(1000-1)(1000+1)*B} = \\ frac{1899*1901*A}{999*1001*B}$ то есть и каждое последующее так же не делится 
$n=2x+1$    
$frac{ 1990^{2x+1}-1}{1000^{2x+1}-1} = frac{(1990-1)(1990^{2x}+1990^{2x-1}+....+1)}{(1000-1)(1000^{2x}+1000^{2x-1} +1000^{2x-2}+...+1)}$ 
    вторая представляет    геометрическую прогрессию , и она так же не делится на  знаменатель чтд