Question

Шестизначное число называется счастливым, если сумма его трех первых цифр равна сумме трех последних. Докажите, что сумма всех счастливых чисел делится на 13.
Заранее спасибо тому умному человеку, кто поможет)

Answer 1

Положим что $a_{1}b_{1}c_{1}$ первые три цифры числа , то $a_{2}b_{2}c_{2}$ последние 
$a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}$   по условию следует что  нет ограничения на числа $a_{1}=b_{1}=c_{1}=a_{2}=b_{2}=c_{2}$ 
то ест к примеру    числа $126126$   так же является шестизначным , если учитывать это  
Видно так же $a_{1} neq 0$ 
Заметим так же что при $123123$  вида чисел 
$1001*a_{1}b_{1}c_{1}$  
То есть сами числа вида  $a_{1}b_{1}c_{1}a_{1}b_{1}c_{1}$  и их сумма делится на $13\ 1001=7*11*13$ 
Тогда $a_{1}b_{1}c_{1}a_{2}b_{2}c_{2}$  
$a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}$ 
То есть  сумма одна и та же  , значит  число    суть  этого  
 $a_{1}b_{1}c_{1}*1001$+$a_{2}b_{2}c_{2}*1001$ 
  и значит сумма всех цифр  делится на  $11*13*7$