Question

Найти
все значения параметра а, при которых прямые 3х+2ау=1 и 3(а-1)х-ау=1
пересекаются в одной точке

Answer 1

Выразим y через x для каждой функции:
$y= frac{1-3x}{2a}$
$y= frac{3x(a-1)-1}{a}$

По условию сказано, что функции должны пересекаться в 1 точке. Т.к. это уравнения линейных функций (прямые), то они пересекутся максимум в 1 точке (в 2 и более точках не пересекутся ни при каких а и х).
$frac{3x(a-1)-1}{a}= frac{1-3x}{2a}$
$a(1-3x)=2a(3x(a-1)-1)$
$a-3ax=6a^{2}x-6ax-2a$
$x(6a^{2}-3a)=3a$
$x= frac{3a}{3a(2a-1)} = frac{1}{2a-1}$
$a neq 0, 2a-1 neq 0, a neq 0.5$

Учтем условие, что прямые не должны быть параллельны, для этого у них не должны быть равны коэффициенты перед х:
$y=- frac{3}{2a}x+ frac{1}{2a}$
$y= frac{3(a-1)}{a}x- frac{1}{a}$

$frac{3(a-1)}{a} neq - frac{3}{2a}$
$-3aneq 6a(a-1)$
$-3a neq 6a^{2}-6a$
$3a(2a-1) neq 0$ - получили те же условия.

Ответ: a∈(-бесконечность; 0)U(0; 0.5)U(0.5; +бесконечность)