Question

Найдите все значения а, для каждого из которых неравенство ах в квадрате -4х+3а+1>0 выполняется при всех х<0.

Answer 1

$ax^2-4x+3a+1>0$
Отдельный случай
$a=0$ квадратное неравенство вырождается в линейное
$-4x+1>0$
$1>4x$
$4x<1$
$x<0.25$
а значит выполняется для всех $x<0$
Пусть теперь
$a neq 0$
квадратное неравенство, чтоб оно выполнялось
нужно чтоб ветви параболы были направлены верх
(очевидно если ветви будут вниз то найдется гдето точка ближе к минус бесконечности так точно для которой значение функции задающей л.ч неравенства будет отрицательно, так как в случае ветвей вниз, только ограниченная часть параболы находится выше оси абсцис)

итак имеем первое необходимое условие $a>0$

дальше два случая
первый случай - если корней нет ($D<0$) - отлично, график параболы выше оси Ох - неравенство выполняется
$a>0; D<0$
$a>0; (-4)^2-4a(3a+1)<0$
$a>0$
$4*4-4(3a^2+a)<0$
$4-3a^2-a<0$
$3a^2+a-4>0$
$(3a+4)(a-1)>0$
УчитЫвая второе условие $a>0->3a+4>0$ авмтоматически
и необходимо вЫполнение неравенства
$a-1>0$ или
$a>1$

теперь рассмотрим второй случай
$a>0$ -
когда есть корни -точки пересечения с осью абсцисс - необходимо чтоб левый(меньшее число) (или единственный --одинаковый) корень лежал правее 0 (или равнялся 0)[/tex]
итого

$a>0;D geq 0; 0 leq x_1<x_2$;
$a>0; (3a+4)(a-1) geq 0; 0leq frac{4-2sqrt{(3a+4)(a-1)}}{2a}$
$0<a leq 1;$ - с первых двух неравенств (аналогично по рассуждениям относительно первого случая)
$2geq sqrt{3a^2+a-4}$
$4>3a^2+a-4$
$3a^2+a-8<0$ - что очевидно верно при условиях $0 < a leq 1$
обьединяя все
получаем что данное неравенство верно при
а є $[0;+infty)$