Question

Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A(2, 4) B(9, 5) C(6. 0). Найти:
а)уравнение и длину высоты BD
б)уравнение и длину медианы BM
в)угол f между высотой BD и медианой BM
г)уравнение биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине A

Answer 1

Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A(2, 4) B(9, 5) C(6. 0).
Найдем:
а)уравнение и длину высоты BD
Уравнение прямой проходящей через две точки с координатами (х₁;у₁) и (х₂;у₂)
$frac{x- x_{1} }{y-y _{1} }= frac{x _{2} -x_{1} }{y _{2}-y _{1} }$
Уравнение АС: $frac{x-2}{y-4} = frac{6-2}{0-4}$
-4(x-2)=4(y-2)
x+y-6=0
n₁(1;1)- нормальный вектор прямой АС.
Координаты нормального вектора прямой ВД n₂(-1;1)
так как прямые перпендикулярны, то нормальные векторы ортогональны, значит их скалярное произведение должно быть равно 0.
Уравнение прямой ВД : -х+у+с=0 значение с найдем, подставив в данное уравнение координаты точки В.
-9+5+с=0, с=4
Уравнение прямой ВД: -х+у+4=0
Найдем координату точки Д как точки пересечения прямых АС и ВД, решаем систему уравнений:
$left { {{x+y-6=0} atop {-x+y+4=0}} right.$
Сложим уравнения: 2у-2=0. у=1, тогда х=-у+6=-1+6=5
Координата точки Д (5;1) Длина ВД=√(5-9)²+(1-5)²=√32=4√2

б)уравнение и длину медианы BM
Координаты точки М как середины отрезка АС: х=(2+6)/2, у=(4+0)/2
М(4;2)
Уравнение прямой ВМ как прямой, проходящей через две точки, заданные своими координатами имеет вид:
$frac{x-4}{y-2} = frac{9-4}{5-2}$  или 3х-5у-2=0
ВМ=√(4-9)²+(2-5)²=√34
в)угол α между высотой BD и медианой BM
Вектор BD имеет координаты (-4;-4), вектор ВМ имеет координаты (-5;-3)
BD·BM=|BD|·|BM|·cosα ⇒
$cos alpha = frac{(-5)(-4)+(-4)(-4)x}{ sqrt{(-5) ^{2}+(-3) ^{2} } sqrt{(-4) ^{2}+(-4) ^{2} } } = frac{32}{ sqrt{34cdot 4 sqrt{2} } } = frac{4}{ sqrt{17} } , alpha =arccos frac{4}{ sqrt{17} }$
г)уравнение биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине A
длина стороны АВ=√(9-2)²+(5-4)²=√50, длина стороны АС=√(6-2)²+(0-4)²=4√2
Биссектриса АК делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
ВК:КС=АВ:АС, ВК:ВС=(√50):(4√2)=5/4
Координаты точки К, как точки делящей отрезок ВС в отношении 5|4
$x_{k} = frac{9+1,25 cdot 6}{1+1,25}= frac{66}{9},y _{k}= frac{5+1,25cdot 0}{1+1,25} = frac{20}{9}$
Уравнение биссектрисы АК как прямой проходящей через две точки А и К:
$frac{x-2}{y-4}= frac{ frac{66}{9}-2 }{ frac{20}{9}-4 } },(x-2)=-3(y-4),x+3y-14=0$
нормальный вектор  прямой АК - биссектрисы  внутренннего угла А: n₃(1:3)
нормальный вектор биссектрисы внешнего угла, перпендикулярной биссектрисе АК, имеет координаты n₄=(-3:1), так как должно быть:  n₃·n₄=0
Тогда уравнение биссектрисы внешнего угла -3х+у+с=0
значение с найдем подставив в данное уравнение координаты точки А:
3(-2)+4+с=0, с=2
уравнение биссектрисы внешнего угла    -3х+у+2=0