Question

Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до четырех домов была наименьшей. заранее спасибо за помощь

Answer 1

Условие схоже  с условием точкой Торичелли. 
Положим что точка $O$     это точка колодца 
По неравенству треугольников 
 $AO+OB geq AB\ AO+OD geq AD \ BO+OC geq BC\ DO+OC geq DC$ 
 складывая 
 $AO+OB+OD+OC geq frac{AB+BC+CD+AD}{2}$   
равенство выполняется когда $O in AB$  
 тогда 
 $DO+OB geq BD\ AO+OC geq AC$ 
 а это и верно для     диагоналей  трапеций ,  заменяя $O ->O'$  *точка пересечения  диагоналей)
 откуда следует что точка пересечения  диагоналей