Question

1.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
y^2=x^3 и y=1 И осью OY
2.При каком наибольшем значении а функция f(x) = 2/3x^3-ax^2+ax+7 возрастает на всей числовой прямой?
Кто может помочь??

Answer 1

1) Площадь фигуры находится с помощью интеграла.
$y^{2}=x^{3}, y=x^{1.5}$
Определим вначале пределы интегрирования - т.е. точки пересечения графиков:
$x^{1.5}=1, x=1$ - это верхний предел. Нижний предел x=0 (т.к. в образовании фигуры участвует ось Оу).
$S= intlimits^1_0 {(1-x^{1.5})} , dx = x- frac{x^{2.5}}{2.5} |^{1}_{0}=1- frac{2}{5}= frac{3}{5}$ - чтобы определить, от какого выражения брать интеграл, нужно из "верхней" функции (по графическому расположению) вычесть "нижнюю" функцию.

2) Возьмем производную:
$y'= frac{2}{3} *3x^{2}-2ax+a=2x^{2}-2ax+a$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, необходимо чтобы ее производная была неотрицательна при любом х.
$2x^{2}-2ax+a geq 0$ при любом х
Парабола ветвями вверх, чтобы она была не ниже оси Ох, дискриминант должен быть неположительным: D ≤ 0
$D=8a^{2}-8a leq 0$
$8a(a-1) leq 1$
$0 leq a leq 1$
Наибольшее значение а из данного промежутка: a=1