Question

Найти стороны треугольника ABC, если его биссектриса BL = 4 и медиана AM = 4 перпендикулярны друг другу.

Answer 1

Пусть P — точка пересечения отрезков BL и AM.
Треугольник ABM — равнобедренный, т.к. его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PM = 2, BC = 2BM = 2AB.
По свойству биссектрисы треугольника CL/AL=BC/AB=2,  т.е. AC = 3AL.
Проведём через вершину B прямую, параллельную AC.
Пусть K — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AM. Тогда BK = AC = 3AL.
Из продобия треугольников APL и KPB следует, что PL/BP=AL/BK=1/3  
Поэтому PL = 1 и BP = 3.
Следовательно, АВ²=АР²+ВР²=4+9=13, АВ=√13
ВС=2АВ=2√13
АL²=АР²+PL²=4+1=5. PL=√5
AC=3√5
Ответ √13, 2√13, 3√5