Question

в трапеции АВСД основания АД и ВС равны соответственно 46 и 23, а сумма углов при основании АД равна 90 градусов. найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СД, если АВ=10

Answer 1

Из того, что сумма углов при основании АД равна 90º, следует, что продолжение АВ и СД пересекаются под углом 90º. 
Достроим трапецию до прямоугольного треугольника АКД
треугольники ВКС и АКД - подобны. 
∠ К в них - общий,ВС||АД,∠ КСВ=∠КДА по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей. 
Коэффициент подобия АД:ВС=46:23=2
Тогда АК:ВК=2
АК=АВ+ВК
(АВ+ВК):ВК=2
(10+ВК):ВК=2
10+ВК=2ВК
ВК=10
Пусть точка касания окружности и прямой СД будет М
Соединим центр О окружности с вершиной В трапеции и точкой касания М.
Так как углы ОМК и АКМ прямые, ОМ и АК - параллелльны. 
Рассмотрим треугольник АОВ.Его стороны АО и ОВ, являясь радиусами окружности, равны.
Треугольник АОВ - равнобедренный. 
Проведем в нем высоту ОН.Эта высота - и медиана ( треугольник ведь равнобедренный).Следовательно, НВ =АВ/2=10/2=5.
Рассмотрим четырехугольник НКМО.Это прямоугольник с равными сторонами НК=МО.МО - радиус окружности. 
НК=НВ+ВК=5+10=15
МО=НК=15 
Радиус окружности равен 15.