Question

Найти определенный интеграл

Answer 1

$1); int _0^1frac{8arctgx-x}{1+x^2}dx=8int _0^1arctgxcdot frac{dx}{1+x^2}-frac{1}{2}int _0^1frac{2xdx}{1+x^2}=\\=[t=arctgx,; u=1+x^2}]=8cdot int _0^{frac{pi}{4}}tcdot dt-frac{1}{2}int _1^2frac{du}{u}=8frac{t^2}{2}|_0^{frac{pi}{4}}-frac{1}{2}ln|u||_1^2\\=4cdot frac{pi ^2}{16}-frac{1}{2}(ln2-ln1)=frac{pi ^2}{4}-frac{1}{2}ln2\\\2); int _1^{e}frac{x^8+lnx^9+1}{x}dx=int _1^{e}(x^7+frac{9lnx}{x}+frac{1}{x})dx=(frac{x^8}{8}+9frac{ln^2x}{2}+ln|x|)|_1^{e}=$

$=frac{e^8}{8}+frac{9}{2}+1-frac{1}{8}$