Question

прості числа p q r такі що р+q+pq ділиться на r р+r+pr ділиться на q q+r+rq ділиться на р доведіть що p=q=r

Answer 1

$p,q ; r in P \ frac{p+q+pq}{r}=x\ frac{p+r+rp}{q}=y\ frac{q+r+rq}{p}=z$    
 Сложим     
 $frac{p^2(q^2+r^2+q+r)+p(q^2+r^2)+qr(qr+q+r)}{pqr}\ frac{ p^2((q+r)^2-2qr+q+r)+p((q+r)^2-2qr)+qr(qr+q+r)}{pqr}$ 
  Заметим что 
 $frac{qr(qr+q+r)}{pqr}$ делиться 
 $frac{p^2((q+r)^2-2qr+q+r)+p((q+r)^2-2qr)+qr(qr+q+r)}{pqr} \ frac{p^2(q+r)^2-2p^2qr+p^2(q+r)p+p(q+r)^2-2pqr}{pqr}=x+y\\ frac{p^2(q+r)^2+p^2(q+r)+p(q+r)^2}{pqr}-2p-2=x+y\ frac{(q+r)(pr+r+pq+q+p )}{qr}=A\\ A in N$ 
 заметим что 
 $q+r geq sqrt{2qr}$ неравенство выполняется , тогда когда         $q=r$ 
   $pr+r+pq+q+p =(p+1)(r+q)+p\ frac{2rq(p+1)p}{rq}=2p(p+1)$ 
  Откуда     $p=q=r$