Question

Докажите тождество: (z/z-2 - z^2/z^3+8 * z^2+2z/z-2) : 8/z^2-2z+4 + z^2+z+6/4z+8 = 6-z/4z+8 

Answer 1

$(frac{z}{z-2}-frac{z^2}{z^3+8}*frac{z^2+2z}{z-2}):frac{8}{z^2-2z+4}+frac{z^2+z+6}{4z+8}$

$1) frac{z^2}{z^3+8}*frac{z^2+2z}{z-2}=frac{z^2}{(z+2)(z^2-2z+4)}*frac{z(z+2)}{z-2}=frac{z^3}{(z^2-2z+4)(z-2)} \ \ 2) frac{z}{z-2}-frac{z^3}{(z^2-2z+4)(z-2)}=frac{z(z^2-2z+4)-z^3}{(z^2-2z+4)(z-2)}=frac{z^3-2z^2+4z-z^3}{(z^2-2z+4)(z-2)}= \ \ =frac{-2z^2+4z}{(z^2-2z+4)(z-2)}=frac{-2z(z-2)}{(z^2-2z+4)(z-2)}=frac{-2z}{z^2-2z+4}$

$3) frac{-2z}{z^2-2z+4}:frac{8}{z^2-2z+4}=frac{-2z}{z^2-2z+4}*frac{z^2-2z+4}{8}=-frac{z}{4} \ \ 4) -frac{z}{4}+frac{z^2+z+6}{4z+8}=frac{z^2+z+6}{4(z+2)}-frac{z}{4}= frac{z^2+z+6-z(z+2)}{4(z+2)}=frac{z^2+z+6-(z^2+2z)}{4(z+2)} = \ \ =frac{z^2+z+6-z^2-2z}{4(z+2)}=frac{6-z}{4(z+2)}=frac{6-z}{4z+8}$

ответ: тождество верно