Question

Пусть  p(x)  это многочлен степени n   такой, что |p(x)|<1  для всех действительных x таких, что |x|≤1 . Верно ли, что |p(2)|<$4^{n}$

Answer 1

$P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\ -1 leq x leq 1$ 
 оценим каждое слагаемое 
 $P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\ -1 leq x leq 1 \\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}<1\\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}>-1$ 
положим что 
$a_{1}=a_{2}=a_{3}=...=a_{k}\\ P(1)=k*a_{k}<1\\ a_{k}<frac{1}{k}\\ kin N$ 
видно что    $a_{k}<1$     
 $P(2)=a*2^{n}+a_{1}*2^{n-1}+a_{2}*2^{n-2}+...+a_{k}*2^{n-k} leq$$2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{n-k}$ 
 $a=1\\ S_{geom} =2(2^n-1)=2^{n+1}-2<4^n\\ 2^{2n}-2*2^n+2>0\\ D<0$ 
 а так как оценка идет сверху то  она и справедлива снизу , верно