Question

углы $alpha$ и $beta$ положительные, острые:
$cos alpha = frac{1}{7}$; $cos( alpha + beta )=- frac{11}{14}$
Найдите значение cos$beta$

Answer 1

По формуле суммы аргументов косинуса:
$cos( alpha + beta )=cos alpha *cos beta -sin alpha *sin beta$

Выразим $cos beta$
$cos beta = frac{cos( alpha + beta )+sin alpha *sin beta }{cos alpha }$

Необходимо найти синусы углов. Т.к. α и β - положительные и острые, значит они находятся в 1 четверти, где синус и косинус положительные. Найдем синусы из основного тригонометрического тождества:
$sin alpha = sqrt{1-cos^{2} alpha }$
$sin beta = sqrt{1-cos^{2} beta}$

$sin alpha = sqrt{1- frac{1}{49} }= sqrt{ frac{48}{49} } = frac{ sqrt{48}}{7}$
$cos beta = frac{- frac{11}{14} + frac{ sqrt{48}}{7}* sqrt{1-cos^{2} beta}}{ frac{1}{7} } =- frac{7*11}{14} + frac{7* sqrt{48}}{7}*sqrt{1-cos^{2} beta} =$$- frac{11}{2} + sqrt{48}* sqrt{1-cos^{2} beta }$

Перенесем слагаемые так, чтобы слева остался квадратный корень, а справа - все остальное:
$sqrt{48*(1-cos^{2} beta) } =cos beta + frac{11}{2}$

Возведем обе части в квадрат (можно сделать, т.к. обе части неотрицательные):
$48*(1-cos^{2} beta )=cos^{2} beta +11cos beta + frac{121}{4}$
$48*-48cos^{2} beta- cos^{2} beta -11cos beta - frac{121}{4}=0$
$-49cos^{2} beta -11cos beta + frac{71}{4}=0$ - домножим обе части на -4
$196cos^{2} beta +44cos beta -71=0$

Замена: cosβ=t∈[0;1]
$196t^{2}+44t-71=0, D=57600=240^{2}$
$t_{1} = frac{-44+240}{2*196} = frac{1}{2}$
$t_{2}<0$ - посторонний корень.

Ответ: cosβ=0.5