Question

$sin 3x-2sin18xsinx=3 sqrt{2}-cos3x+2cosx$

Answer 1

Ох... Ну что ж, раз никто не решился, давайте я попробую.
Представляем уравнение в равносильном виде
sin 3x + cos 3x = 3√2 + 2(sin 18x · sin x + cos x).
Воспользуемся дважды неравенством Коши – Буняковского
(a1b1 + a2b2)2 ≤ (a12 + a22)(b12 + b22).
Тогда (sin 3x + cos 3x)2 ≤ (12 + 12)(sin2 3x + cos2 3x) = 2,
(sin 18x · sin x + cos x)2 ≤ (sin2 18x + 12)(sin2 x + cos2 x) ≤ 2.
Следовательно, sin 3x + cos 3x ≤ √2 и sin 18x · sin x + cos x ≥ -√2.
Если принять во внимание уравнение 
sin 3x + cos 3x = 3√2 + 2(sin 18x · sin x + cos x), заметим, что равенство в нем может достигаться лишь в том случае, когда обе его части равны √2.

Таким образом, получаем систему уравнений
sin 3x + cos 3x = √2,
sin 18x · sin x + cos x = -√2.

Так как -1 ≤ sin 18x ≤ 1 и -√2 ≤ sin x + cos x ≤ √2,
то равенство sin 18x · sin x + cos x = -√2 имеет место лишь в том случае, когда 
sin 18x = 1 и
sin x + cos x = -√2
или 
sin 18x = -1 и
sin x – cos x = √2.

Следовательно, из системы уравнений получаем совокупность двух систем уравнений:
sin 3x + cos 3x = √2,
sin 18x = 1,
sin x + cos x = -√2.

Или
sin 3x + cos 3x = √2,
sin 18x = -1,
sin x – cos x = √2.

Она равносильна более простой совокупности систем уравнений:
sin (3x + п/4) = 1,
sin 18x = 1,
sin (x + п/4) = -1

или
sin (3x + п/4) = 1,
sin 18x = -1,
sin (x – п/4) = 1.

Решая уравнения каждой системы данной совокупности, получаем:
x = п/12 · (8n + 1),
x = п/36 · (4m + 1),
x = п/4 · (8k – 3)или{x = п/12 · (8n + 1),
x = п/36 · (4m – 1),
x = п/4 · (8k + 3),где n, m, k – целые числа.

Теперь необходимо построить пересечение множеств решений каждого из уравнений систем совокупности.
Рассмотрим первую систему уравнений совокупности.
Пусть п/12 · (8n + 1) = п/36 · (4m + 1). 
Тогда 3 · (8n + 1) = 4m + 1 и 12n + 1 = 2m.
Так как для произвольных целых n и m левая часть равенства 12n + 1 = 2m является нечетной, а правая его часть – четной, то данная система уравнений является несовместной.

Рассмотрим вторую систему уравнений совокупности.
Пусть п/12 · (8n + 1) = п/36 · (4m – 1).
Отсюда 3 · (8n + 1) = 4m – 1 и 6n + 1 = m. 
Тогда х = п/36 · (4m – 1) = п/36 · (4 · (6n + 1) – 1) = п/12 · (8n + 1).
Далее построим пересечение с множеством решений третьего уравнения, т.е. пусть п/12 · (8n + 1) = п/4 · (8k + 3).
Отсюда получаем 8n + 1 = 3 · (8k + 3) и n = 3k + 1.
Тогда результатом пересечения множеств решений всех трех уравнений второй системы уравнений совокупности является
х = п/12 · (8n + 1) = п/12 · (8 · (3k + 1) + 1) = п/4 · (8k + 3), где k – целое число.

И, наконец, ответ: п/4 · (8k + 3), где k – целое число.

Answer 2

Какой молодец!!!

Answer 3

Я чувствую что это задача решается так  
$sin3x-2sin18xsinx=3sqrt{2}-cos3x+2cosx\\ sin3x+cos3x=3sqrt{2}+2cosx+2sin18xsinx$ 
Рассмотрим функцию 
 $f(x)=sin3x+cos3x\ f'(x)=3cos3x-3sin3x\ f'(x)=0\ cos3x=sin3x\ x=frac{pi*n}{3}-frac{3pi}{4}$
 Откуда максимальное значение 
 $f(x)_{max}=sqrt{2}$. 
 Найдем теперь минимальное значение функций  
 $y=2cosx+2sin18xsinx\ y'=2cosx*sin18x+36sinx*cos18x-2sinx\ y'=0\ cosx*sin18x+18sinx*cos18x-sinx=0$ 
Теперь  не будем ее решать , и просто подставим значения 
$x=frac{3pi}{4}$ 
 и получим что  производная принимает         $0$ . 
 более того  в этой точки она принимает минимальное значение 
 равной $-2sqrt{2}$ что верно 
 откуда 
$sqrt{2}=3sqrt{2}-2sqrt{2}$ 
 То есть верно 
  Ответ   $x=frac{3pi}{4}+2pi*n$