Question

1. xy' + y + xe^(-x^(2)) = 0
2. (x + 2y)dx + 2xdy = 0
3. y = y' ln y
4. y" + 4y' + 4y = 0
5. y" + 10y' + 34y = -9e^(-5x)
6. y" + 4y = 3cosx

Answer 1

$1) xy'+y+xe^{-x^2}=0$
Вычтем $e^{-x^2}x$ с обеих сторон и разделим на $x$:
$y'+ frac{y}{x}= -e^{-x^2}$
Допустим, μ=$e^{ intlimits { frac{1}{x} } , dx }=x$
Умножим обе части уравнения на μ:
$xy'+y=-e^{-x^2}x$
Замена: $1=x'$:
$xy'+x'y=-e^{-x^2}x$
$(xy)'=-e^{-x^2}x$
$intlimits {(xy)'} , dx = intlimits {-e^{-x^2}x} , dx$
$xy= frac{e^{-x^2}}{2}+C$
$y= frac{ frac{e^{-x^2}}{2}+C }{x}$

$2) (x+2y)dx+2xdy=0$
$2y+2xy'+x=0$
$y'+ frac{y}{x} =- frac{1}{2}$
Допустим, μ=$e^{ intlimits { frac{1}{x} } , dx }=x$
$xy'+y=- frac{x}{2}$
Замена: $1=x'$
$xy'+x'y=- frac{x}{2}$
$(xy)'=- frac{x}{2}$
$intlimits {(xy)'} , dx = intlimits {- frac{x}{2} } , dx$
$xy=- frac{x^2}{4} +C$
$y=- frac{x}{4} + frac{C}{x}$

$3) y=y'ln y$
$y'= frac{y}{lny}$
$frac{ln(y)y'}{y} =1$
$intlimits { frac{ln(y)y'}{y} } , dx = intlimits {} , dx$
$frac{1}{2} ln^2(y)=x+C$
$y_1=e^{- sqrt{2} sqrt{x+C} }$
$y_2=e^{ sqrt{2} sqrt{x+C} }$

$4) y''+4y'+4y=0$;
Решим, как однородное линейное уравнение:
Допустим, решение будет решение будет пропорционально e^(λx) для некоторой константы λ.
Заменим y=e^(λx) в дифференциальное уравнение:
(e^(λx))''+4(e^(λx))'+4e^(λx)=0;
Заменим (e^(λx))''=λ²e^(λx)   и (e^(λx))'=λe^(λx):
λ²e^(λx)+4λe^(λx)+4e^(λx)=0;
(λ²+4λ+4)e^(λx)=0;
Т.к. e^(λx)≠0 для любого конечного λ, нули должны исходить от многочлена:
λ²+4λ+4=0;
(λ+2)²=0;
λ=-2   λ=-2;
Кратность корня  λ=-2 - это 2, делающее $y_1=Ce^{-2x}$, $y_2=Ce^{-2x}x$ в качестве решения, где C -произвольная константа.
Ответ: $y=y_1+y_2=C_1e^{-2x}+C_2e^{-2x}x$

Answer 2

Где 5 и 6 пример?