Question

если u=x^2*sqrt(y^3+z^4), то значение ее производной du/df в точке A(1,1,1) по направлению к точке B(2,1,2) равно

Answer 1

Находим частные производные функции:
$u` _{x} =2x sqrt{y ^{3}+z ^{4} } \ u _{y} `= x^{2} frac{3y ^{2} }{2 sqrt{y ^{3} +z ^{4} } } \ u` _{z} = x^{2} frac{4z ^{3} }{2 sqrt{y ^{3}+z ^{4} } }$
Вычислим значения производных в точке А (1;1;1)$u`_{x} (A)= 2 sqrt{2} \ u` _{y} (A) = frac{3}{2 sqrt{2} } \ u` _{z} (A)= frac{4}{ 2sqrt{2} }$

Найдем координаты вектора АВ (1;0;1) и направляющие косинусы.
$cos alpha = frac{1}{ sqrt{2} } \ cos beta =0 \ cosgamma= frac{1}{ sqrt{2} }$

$u` _{AB}(A) =u` _{x} (A)cos alpha +u` _{y} (A)cos beta +u` _{z} (A)cosgamma= \ 2 sqrt{2 } frac{1}{ sqrt{2} }+ frac{3}{2 sqrt{2} }0+ frac{4}{2 sqrt{2} } frac{1}{ sqrt{2} } =2+1=3$