Question

Дан треугольник ABC со сторонами: AВ = 9; ВС = 6 и АС = 5. Через сторону АС проходит плоскость М, составляющая с плоскостью треугольника угол в 45°. Найти расстояние между плоскостью М и вершиной В.

Answer 1

Из вершины В опускаем высоту ВN и получаем два прямоугольных треугольника АВN и СBN с общей стороной ВN. СN берем за Х и тогда АN=5+X
По теореме Пифагора выводим BN^2 для двух треугольников:
1) ВN^2=АВ^2-АN^2=9^2-(5+X)^2=81-25-10X-X^2=56-10X-X^2
2) BN^2=BC^2-CN^2=36-X^2
Долее их уравниваем
56-10X-X^2=36-X^2
-10X-X^2+X^2=36-56
-10X=-20
X=2
Подставляем и находим ВN
BN^2=36-2^2=32
BN=V32
Теперь из вершины В чертим отрезок ВL перпендикулярно плоскости М, это и есть расстояние между плоскостью М и вершиной В.
Рассмотрит треугольник BNL, он прямоугольный и равнобедренный т.к. ВL перпендикулярно NL и угол ВNL равен 45 по условию. Опять же по теореме Пифагора выводим ВN^2
BN^2=BL^2+NL^2 так как ВN=V32 и ВL=NL то
V32^2=2BL^2
32=2BL^2
BL^2=32/2
BL=V16
BL=4
Ответ: расстояние между плоскостью М и вершиной В равно 4