Question

Найти общее решение или общий интеграл: yy'+y²-xy=0

Answer 1

$yy'+y^2-xy=0|:yne 0\\y'+y=x\\y=uv,; y'=u'v+uv'\\u'v+uv'+uv=x\\u'v+u(v'+v)=x\\1); v'+v=0\\frac{dv}{dx}=-v,; int frac{dv}{v}=-int dx\\ln|v|=-x,; v=e^{-x}$

$2); u'cdot e^{-x}=x\\frac{du}{dx}=frac{x}{e^{-x}}\\int du=int xe^{x}dx\\int xe^{x}dx=[u=x,du=dx,dv=e^{x}dx,v=e^{x}]=uv-int vdu=\\=xe^{x}-int e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+C\\3); y=uv=e^{-x}(xe^{x}-e^{x}+C)=x-1+Ce^{-x}$