Question

найти интеграл при помощи универсальной тригонометрической подстановки
1/(5+4*sin(x))

Answer 1

Универсальная тригонометрическая подстановка:
$frac{dx}{dt} = frac{2dt}{1+t^2} \ sinx= frac{2t}{1+t^2} \ intlimits {frac{dx}{5+4sinx} }= intlimits frac{2dt}{(1+t^2)(5+4 frac{2t}{1+t^2} )} = 2 intlimits frac{dt}{5(1+t^2)+8t}= 2 intlimits frac{dt}{5t^2+8t+5}$
Это табличный интеграл (если в вашей таблице его нет, напиши, будет его подробнее вычислять)
$b^2-4ac=8^2-4*5*5=64-100=-36$
При отрицательном значении формула имеет вид
$2 intlimits frac{dt}{5t^2+8t+5}= 2*frac{2}{ sqrt{4ac-b^2} } arctg( frac{2ax+b}{ sqrt{4ac-b^2} } )+C= \ =frac{4}{ sqrt{4*5*5-8^2} } arctg( frac{2*5x+8}{ sqrt{100-64} } )+C= \ =frac{4}{6 } arctg( frac{10x+8}{ 6 } )+C=frac{2}{3 } arctg( frac{10x+8}{ 6 } )+C$

Answer 2

решение во вложении на картинке