Question

Найти уравнение касательной плоскости к эллипсоиду x^2/4+y^2/9+z^2/1=1 в точке М (1; 3/2; 1/sqrt2)

Answer 1

Преобразуем данное уравнение
$frac{x^2}{4}+ frac{y^2}{9}+z^2-1=0$
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0 в точке M₀(x₀,y₀,z₀) записывается в виде
$(frac{partial F}{partial x} )_{M_0}*(x-x_0)+ (frac{partial F}{partial y} )_{M_0}*(y-y_0)+ (frac{partial F}{partial z} )_{M_0}*(z-z_0)=0$
$frac{partial }{partial x}( frac{x^2}{4}+ frac{y^2}{9}+z^2-1)=0.5x \ (frac{partial F }{partial x})_{M_0} =0.5*1=0.5\ frac{partial }{partial y}( frac{x^2}{4}+ frac{y^2}{9}+z^2-1)= frac{2}{9}y \ (frac{partial F }{partial y})_{M_0} = frac{2}{9}* frac{3}{2}= frac{1}{3} \ frac{partial }{partial z}( frac{x^2}{4}+ frac{y^2}{9}+z^2-1)=2z \ (frac{partial F }{partial z})_{M_0}=2* frac{1}{ sqrt{2} } = sqrt{2}$
Подставляем полученные значения в уравнение плоскости
$0.5(x-1)+ frac{1}{3}(y- frac{3}{2}) +sqrt{2}(z- frac{1}{ sqrt{2} } )=0 \ 0.5x-0.5+frac{1}{3}y- frac{1}{2}+ sqrt{2}z-1=0 \ 0.5x+frac{1}{3}y+ sqrt{2}z-2=0$