Question

Число записано с помощью ста единиц ста двоек и ста нулей. Может ли оно быть квадратом натурального числа

Answer 1

пусть  это число n^2  n-целое  число.
Сумма  цифр числа n^2 ,как  бы они не были  расположены ,равна  1*100+2*100+0*100=300 сумма  цифр делится  на 3,но  при этом не делится на 9,тогда  по признаку делимости на 3 ,это  число делится на 3,но не делится на 9.
Число n при  делениии   на 3  может  давать остатки 1,2 или делится  на 3  нацело.
Рассмотрим все 3 варианта:
1)Пусть  число n делится  на 3  нацело,тогда n=3k ,n^2=9k^2 .Это  число делится одновременно  и на 3 и на 9,а  наша делится только на 3.То есть  невозможно.
2) Дает  остаток 1:
n=3k+1
n^2=9k^2+6k+1  9k^2+6k делится на 3,тогда  тк 1 не  делится  на 3,то  по признаку не делимости n^2 не  делится на 3,но  наше число делится на 3,то  есть не подходит.
3)Дает остаток 2: n=3k+2  n^2=9k^2+12k+4,и  опять же  это число  не делится на 3 ,тк  все слагаемы  кроме 4  делятся на 3.
Таким  образом не  существует такого числа n^2,записанного  при помощи 100 двоек, 100  единиц и 100  нулей.