Question

найти общее решение
d^2y/dx^2-8dy/dx+25y=0

Answer 1

$frac{d^2y}{d^2x} - 8frac{dy}{dx} + 25y=0$
$y''-8y'+25y=0$
степень дифференциального уравнения равна 2, напишем характеристическое уравнение второго порядка для данного дифференциального
$lambda^2-8 lambda+25=0$
решим его
$D=8^2-4*25=64-100=-36$
$sqrt{D}= sqrt{-36}= sqrt{36} * sqrt{-1} =6i$
$lambda_1= frac{8+6i}{2}=4+3i$
$lambda_2= frac{8+6i}{2}=4-3i$
данным корням соответствуют следующие слагаемые в решении дифференциального уравнения
$lambda_1:C_1e^{4t}cos3t$
$lambda_2:C_2e^{4t}sin3t$
тогда общее решение выглядит так:
$X=C_1e^{4t}cos3t+C_2e^{4t}sin3t$
Ответ: $X=C_1e^{4t}cos3t+C_2e^{4t}sin3t$