Question

Равнобедренный треугольник ABC с основанием АС вписан в окружность с центром О. Площадь треугольника ABC 4 корня из 2, угол В равен 45 градусов. Прямая, проходящая через точку О и середину BC, пересекает сторону AB в точке K. Найдите площадь треугольника BCK.

Answer 1

Так как   $AB=BC$ 
То $S=frac{AB^2}{2}*sin45=4sqrt{2}\ AB=4$ 
Докажем что треугольник  $BKC$ так же равнобедренный. 
Радиус описанной окружности равен 
$AC=sqrt{2*4^2-2*4^2*cos45}=4sqrt{2-sqrt{2}}$  
$R=frac{4sqrt{2-sqrt{2}}}{2sin45}=2sqrt{4-2sqrt{2}}$ 
Рассмотрим треугольник  $BOM$ , угол  $OBM=frac{45}{2}$ 
По теореме косинусов 
 $OM=sqrt{2sqrt{4-2sqrt{2}}^2+2^2-2*2*2sqrt{4-2sqrt{2}}*cosfrac{45}{2}} =2sqrt{2}-2$ 
То угол  $BMO$  кратен $pi*n-frac{pi}{2}<180\ n=1\ BOM=90а$ 
То есть угол  $BKC=90а$ 
$BC^2=2KB^2\ KB=sqrt{8}\ S_{BCK}=frac{KB^2}{2}=4$