Question

Составить уравнений касательных к кривой , параллельных прямой x^2/25-y^2/16=1, 4x=3y

Answer 1

Составить уравнений касательных к кривой , параллельных прямой x^2/25-y^2/16=1, 4x=3y
Уравнение прямой имеет вид
4x=3y
y=4/3x
Отсюда видно, что угловой коэффициент равен 4/3. Поскольку угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона, который, в свою очередь, равен производной, получаем
y'(x₀)=4/3
С другой стороны
$frac{x^2}{25} + frac{y^2}{16} =1 \ y=(16(1- frac{x^2}{25}))^{1/2}= frac{4}{5}(25-x^2)^{1/2} \ y'= frac{4}{2*5}(25-x^2)^{-1/2}*(-2x)= frac{-4x}{5 sqrt{25-x^2} }$
$frac{-4x}{5 sqrt{25-x^2} }= frac{4}{3} \ frac{x^2}{25 (25-x^2) }= frac{1}{9} \ 9x^2=25 (25-x^2) \ 9x^2=25 *25-25x^2 \ x^2(25+9)=25*25 \ x= sqrt{ frac{25*25}{34} } = бfrac{25}{ sqrt{34} }$
Координаты точек касания найдены.
Уравнение касательной имеет вид:
y=f(x₀)+4/3(x-x₀)
Найдем f(x₀)
$frac{25^2}{25( sqrt{34})^2}+ frac{y^2}{16}=1 \ frac{25}{ 34}+ frac{y^2}{16}=1 \ y^2=16(1- frac{25}{ 34})=16* frac{9}{ 34} \ y=бfrac{12}{ sqrt{34} }$
Значит, уравнение касательной
$1) y= -frac{12}{ sqrt{34} }+ frac{4}{3} (x- frac{25}{ sqrt{34} })= frac{4}{3} x+frac{-12*3-25*4}{3 sqrt{34} }= frac{4}{3} x-frac{136}{ 3sqrt{34} } \ 2) y= frac{12}{ sqrt{34} }+ frac{4}{3} (x+ frac{25}{ sqrt{34} })= frac{4}{3} x+frac{12*3+25*4}{3 sqrt{34} }= frac{4}{3} x+frac{136}{ 3sqrt{34} }$