Question

очень прошу оказать помощь в решении уравнения:
2sin^2 x-9sin x cos x+7cos^2 x=0

Answer 1

данный тип уравнения решается с помощью деления на cos²x:
2tg²x-9tgx+7=0
Замена : tgx=t
2t²-9t+7=0
Д=81-4*2*7=81-56=25=5²
t1/2=(9+-5)/4
t1=(9+5)/4=14/4=7/2
t2=(9-5)/4=4/4=1
Вернемся к замене:
tgx=7/2
x=arctg7/2+Пn
tgx=1
x=П/4+Пn

Answer 2

$2sin^2x-9sinx*cosx+7cos^2x=0|:cos^2x$

Разделим на cos²x  и получаем

$frac{2sin^2x}{cos^2x} - frac{9sinx*cosx}{cos^2x} + frac{7cos^2x}{cos^2x} =0$

сокращаем 

$frac{2sin^2x}{cos^2x} - frac{9sinx}{cosx} +7=0$

Как видно что sinx/cosx  = tgx

$2tgx^2x-9tgx+7=0$

Пусть tgx = t ( t ∈ R), тогда имеем:

$2t^2-9t+7=0$

Решаем через дискриминант

$a=2;b=-9;c=7 \ D=b^2-4ac=(-9)^2-4*2*7=81-56=25 \ sqrt{D} =5 \ t_1= frac{-b+ sqrt{D} }{2a}= frac{9+5}{4} = frac{14}{4} =3.5 \ t_2= frac{-b- sqrt{D} }{2a}= frac{9-5}{4} = frac{4}{4} =1$

Обратная замена

$tgx=3.5 \ x_1=arctg3.5+ pi n$

$tgx=1 \ x_2=arctg1+ pi n \ x_2= frac{ pi }{4} + pi n$

π/4 - это arctg 1.

Ответ: arctg3.5+πn, π/4+πn.