Question

Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²-45x+2
Нужно подробное решение.

Answer 1

найдем производную функции:
$y' = ( x^{3} -3 x^{2} -45x +2) = 3 x^{2} -6x-45$
Теперь найдем, в каких точках производная равна нулю, т.е. найдем экстремумы функции:
$3 x^{2} -6x-45 = 0 \ x^{2} -2x-15=0$
по теореме, обратной теореме Виета находим, что х1=5, х2= -3
Далее необходимо начертить числовую прямую и отметить на ней точки -3 и 5.
получаем три интервала: х≤ -3,   -3≤х≤5,   х≥5.
Определим знаки на интервалах:
при х≥5 производная положительная, на отрезке  -3≤х≤5 производная отрицательная, при х≤ -3 производная положительная.
Если производная положительна, то график функции возрастает, если отрицательна, то график убывает. Таким образом:
х≤-3, х≥5 - интервалы возрастания функции
-3≤х≤5 - интервал убывания функции