Question

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол β Отрезок соединяющий середину высоты пирамиды и середину бокового ребра равна в. найдите объем пирамиды

Answer 1

По определению
tgβ=OS/OC=h/OC
OC=h/tgβ
В основании правильной четырехугольной пирамиды квадрат. Значит, треугольник OCK прямоугольный равнобедренный. По т.Пифагора
OC²=(a/2)²+(a/2)²=a²/4+a²/4=a²/2
OC=a/√2
$frac{a}{ sqrt{2} } = frac{h}{tg beta } \ a= frac{h sqrt{2} }{tg beta }$
Треугольник OFK прямоугольный. По т.Пифагора
$b^2=( frac{h}{2})^2+ ( frac{a}{2})^2 \ b^2=( frac{h}{2})^2+ ( frac{h sqrt{2} }{2tg beta })^2 \ b^2=frac{h^2}{4}+ frac{h ^2 }{2tg^2 beta } \ b^2=h^2(frac{tg^2 beta +2 }{4tg^2 beta }) \ b=h sqrt{frac{tg^2 beta +2 }{4tg^2 beta }} \ b=h frac{sqrt{tg^2 beta +2} }{2tg beta } \ h= frac{2b,tg beta }{sqrt{tg^2 beta +2}}$
Тогда
$a= frac{2 sqrt{2}* b,tg beta }{tg betasqrt{tg^2 beta +2}}= frac{2 sqrt{2}* b }{sqrt{tg^2 beta +2}}$
Формула объема правильной четырехугольной пирамиды
$V= frac{1}{3} ha^2= frac{1}{3} frac{2b,tg beta }{sqrt{tg^2 beta +2}}( frac{2 sqrt{2}* b }{sqrt{tg^2 beta +2}})^2=frac{16b^3,tg beta }{3(tg^2 beta +2)^{3/2}}$