Question

доказать что при n≥1 число n^3+3n^2+5n делится на 3

Answer 1

чуток иначе через те же остатки:
(используем свойство квадрат числа при делении на 3 дает остатки 0,1 , причем остаток 0 тогда и только тогда когда число кратное 3 - ну и остальные свойства суммы и произведения остатков)
так как $3n^2$ делится на 3, нужно показать еще что $n^3+5n$ делится на 3

$n^3+5n=n(n^2+5n)$
если n делится на 3 то произведение делится на 3 и исходное выражение делится нацело на 3,
если n нацело не делится, то $n^2$ при делении на 3 дает остаток 1, а значит $n^2+5$ дает остаток при делении на 3 - 0, а значит делится нацело
таким образом либо n либо $n^2+5$ делится нацело на 3, произведение делится на 3, и исходное выражение делится нацело на 3
Доказано.

второй способ. Методом математической индукции
База индукции
$n=1$; $1^3+3*1^2+5*1=1+3+5=9; 9:3=3$
выполняется при $n=1$
Гипотеза индукции. Пусть утверждение верно при $n=k$
т.е. $k^3+3k^2+5k$ делится нацело на 3.
Индукционный переход. Докажем что тогда утверждение верно при $n=k+1$
$n^3+3n^2+5n=(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)=\\k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+5k+5=(k^3+3k^2+5k)+3(3k+k^2+2)$  а значит кратное 3 (выражение в первой скобке кратное 3 в силу допущения, во второй один из множителей а именно множитель 3 кратный 3)
Методом математической индукции доказано