Question

Помогите пожалуйста найти
область сходимости функционального ряда

Answer 1

Если в одном из слагаемых знаменатель обратится в ноль, то будем считать, что ряд расходится (т.к. в нём есть бесконечное слагаемое). В противном случае ряд сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом 1/n^2.
Ответ 1. Ряд сходится при всех x, кроме целых отрицательных.

Замечание о "будем считать". Тут некоторая проблема в том, что слагаемые можно переписать в виде
$displaystylefrac1{(x+n)(x+n+1)}=frac1{x+n}-frac1{x+n+1}$
Тогда частичная сумма равна (если все дроби конечны)
$displaystylesum_{n=1}^Nleft(frac1{x+n}-frac1{x+n+1}right)=frac1{x+1}-frac1{x+N+1}$
(Такой ряд часто называют "телескопическим", т.к. при раскрытии скобок почти все слагаемые сокращаются)
Последнее слагаемое стремится к нулю (примерно как 1/N), так что сумма ряда равна
$displaystylefrac1{x+1}$
и очень хочется сказать, что ряд сходится при всех x, кроме -1 (а быть может возникающая бесконечность "сокращается" с такой же бесконечностью). Если понимать сумму ряда в таком смысле, то область сходимости станет более широкой.