Question

$x^{2} + x -6= frac{6}{ x^{2} +3x-4}$

Answer 1

Заметим, что x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3), x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4).

Домножим обе части на знаменатель:
(x - 2)(x - 1)(x + 3)(x + 4) = 6 (Кстати, отсюда чётко видно, что об ОДЗ можно не беспокоиться, так как (x - 1)(x + 4) не равно нулю)


Перемножим первую и последнюю скобки, вторую и третью:
(x^2 + 2x - 8)(x^2 + 2x - 3) = 6

Замена: x^2 + 2x + 1 = y, y >= 0
(y - 9)(y - 4) = 6
y^2 - 13y + 36 = 6
y^2 - 13y + 30 = 0

У этого уравнения есть два неравных положительных корня (сумма и произведение положительны по формулам Виета). Тогда у исходного уравнения - 4 неравных вещественных корня. Их произведение легко найти - оно равно свободному члену многочлена (x - 2)(x - 1)(x + 3)(x + 4) - 6, т.е. 2 * 1 * 3 * 4 - 6 = 18.

Ответ. Произведение корней равно 18.

P.S. Можно и дорешать уравнение "честно". Корни уравнения на y - это 3 и 10. Тогда, возвращаясь к иксам, получим
x = -1 +- sqrt(3); -1 +- sqrt(10).
Произведения корней каждого квадратного уравнения можно было найти и по формулам Виета. Но, так или иначе,

(1 + sqrt(3))(1 - sqrt(3))(1 + sqrt(10))(1 - sqrt(10)) = (1 - 3)(1 - 10) = 2 * 9 = 18.

P.P.S. Как и предлагал в обсуждении mmb1, можно, увидев выражение 
(x - a)(x - b)(x - c)(x - d), свести его к "разности квадратов", т.е. к виду 
((x - u)^2 - l)((x - u)^2 - m). Раскрывая скобки в тождестве
((x - u)^2 - l)((x - u)^2 - m) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d),
получим:
x^4 - 4u x^3 + (...) = x^4 - (a + b + c + d) x^3 + (...) (В скобках нет степеней икс выше второй)
Отсюда u = (a + b + c + d) / 4, и делать нужно замену y = x - u = x - (a + b + c + d)/4.
Здесь (a + b + c + d)/4 = (2 + 1 - 3 - 4)/4 = -1, и уравнение превращается в квадратное относительно (x + 1)^2.

Answer 2

Воооот, наконец-то!)) Спасибо большое) Всё равно какие-то трудные у вас способы, но только сейчас заметил: когда переделываем на 4 скобки, произведение которых равно 6, то можно перемножить первую и третью и вторую и четвёртую и получить одинаковую часть, которую можно обозначить за любую переменную, а далее просто свести к квадратному уравнению))) Я даже и не подумал перемножить 1 и 3 и 2 и 4, почему-то и в голову не пришло) Всё равно спасибо)