Question

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 33

Answer 1

ABCD-параллелoграмм, EFGH -ромб. Для удобства введем обозначения: a - сторона ромба (они равны по определению ромба) d - диагональ AC 33d - диагональ BD (по условию) AE - k EB - t Площадь параллелограмма через диагонали равна BD*AC*sinα/2 = 33d*d*sinα/2 = 16,5d^2*sinα, где α - угол между диагоналями (при чем не важно какой, так как синусы обоих углов будут равны друг другу). Так как стороны ромба параллельны диагоналям, образуется маленький параллелограмм, а значит противоположные углы равны (по свойству параллелограмма). Рассмотрим треугольники ABC и EBF. ∠EBF - общий ∠BFE=∠BCA (это соответственные углы для параллельных прямых EF и AC с секущей FC) Следовательно, треугольники ABC и EBF подобны (по первому признаку подобия). Тогда EF/AC=a/d=t/(t+k) Аналогично, подобны и треугольники ABD и AEH. Для них справедливо: a/33d=k/(t+k) Складываем эти два уравнения: a/d+a/33d=t/(t+k)+k/(t+k) 33a/33d+a/33d=(t+k)/(t+k) 34a/33d=1 34a=33d a=33d/34 Sромба=a^2sinα Sпараллелограмма=16,5d^2*sinα (это мы выяснили ранее) Sромба/Sпараллелограмма=(a^2sinα)/(16,5d^2*sinα)=a^2/(16,5d^2)=(33d/34)^2/(16,5d^2)=1089/(1156*16,5)=33/578 Ответ: 33/578