Question

АД и ВС основания трапеции АВСД, Р - точка пересечения биссектрис углов ДАВ и АВС, К- точка пересечения биссектрис углов ВСД и СДА. Найдите длину средней линии трапеции, если АВ=4см, СД=10см, РК=1см.

Answer 1

Я вот так "хитро" напишу :)).
Если "сдвинуть" точку K, совместив её с точкой P, то получится описанная трапеция, так как биссектрисы всех углов пересекутся в одной точке.
Это означает, что 
AB + CD = (AD - PK) + (BC - PK);
или
(AD + BC)/2 = (AB + CD)/2 + PK = (4 + 10)/2 + 1 = 8;

На самом деле средняя линия разбивается на 3 куска, один из которых PK, а два других - медианы к гипотенузам прямоугольных треугольников APB и CKD. То есть она равна AB/2 + CD/2 + PK. Ну, это тоже решение. Надо только обосновать :)).

Answer 2

Да и утверждение в первом решении не мешает обосновать :). Средняя линия проходит через точки P и K. А почему?