Question

С6. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценки – целое число баллов от 1 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили

различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг фильма определяется как среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг фильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и считается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равна 1/20 ?

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равна 1/35?

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Answer 1

Обозначим оценки за a,b,c,d,e,f,g, причём a<b<...<f<g. По старой системе рейтинг равен 1/7(a+b+c+d+e+f+g), по новой 1/5(b+c+d+e+f), вычтем одно из другого, получим 1/7(a+g)-2/35(b+c+d+e+f)=1/35(5(a+g)-2(b+c+d+e+f)) 

1. Предположим, что 1/35(5(a+g)-2(b+c+d+e+f))=1/20, тогда 20((5(a+g)-2(b+c+d+e+f))=35, то есть чётное число, умноженное на целое в скобках, даёт нечётное, чего быть не может.
2. Это возможно, если a=1,b=2,c=3,d=4,e=6,f=7,g=8. Старый рейтинг равен (1+2+3+4+6+7+8)/7=31/7, новый равен (2+3+4+6+7)/5=22/5. 31/7-22/5=(31*5-22*7)/35=(155-154)/35=1/35, что и требовалось.
3. Рассмотрим 2 варианта - пусть сначала число 1/35(5(a+g)-2(b+c+d+e+f)) положительно и максимально из возможных. Тогда число 5(a+g)-2(b+c+d+e+f) максимально из возможных. Тогда g=12, так как g входит со знаком плюс, а числа b,c,d,e,f равны a+1,...,a+4,a+5, так как они должны быть как можно меньше, а их сумма равна 5a+15. Тогда само число равно 5(a+12)-2(5a+15)=5a+60-10a-30=30-5a. При a=1 значение выражения максимально и равно 25. Второй вариант -  5(a+g)-2(b+c+d+e+f) отрицательно и является наименьшим из возможных, значит, число 2(b+c+d+e+f)-5(a+g) является положительным и наибольшим из возможных. Значит, a=1, а числа b,c,d,e,f должны быть как можно больше, значит, они равны g-5,...,g-1, а их сумма равна 5g-15. Значит, само выражение равно 2(5g-15)-5(1+g)=10g-30-5-5g=5g-35, максимум достигается при g=12, значение выражения равно 60-35=25. Значит, максимальное значение выражения 5(a+g)-2(b+c+d+e+f) по модулю равно 25, а максимальное значение выражения 1/35(5(a+g)-2(b+c+d+e+f)) равно 25/35=5/7.