Question

найдите все значения а при которых уравнение
$sqrt{x^4-(a-5)^4} = |x+a-5| + |x-a+5|$
имеет одно решение.

Answer 1

функция четная,т.к. f(x)=f(-x)
значит, x1=-x2
один корень при х=0
подставляем
sqrt(-(a-5)^4)=|a-5|+|5-a|
откуда а=5
но проверкой удостоверяемся, что а=5  - три корня
опечатка в условии, если бы было + под корнем, то три корня, потом проверка

Answer 2

ОТВЕТ ПРИНЯТ ТАК КАК ИСПРАВЛЕНИЕ ПРИМЕРА БЫЛО ПОСЛЕ ДАННОГО РЕШЕНИЯ. Оба отвечающих знали правильный ответ. Женя на будущее давайте с самого начала правильные условия. Дискуссия окончена

Answer 3

$sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5|$

Пусть xo - корень этого уравнения, тогда -xo также корень. Проверка:

$sqrt{(-x_o)^4+(a-5)^4}=|-x_o+a-5|+|-x_o-a+5|$

$sqrt{x_o^4+(a-5)^4}=|-(x_o-a+5)|+|-(x_o+a-5)|$

$sqrt{x_o^4+(a-5)^4}=|x_o-a+5|+|x_o+a-5|$

Получилось тоже самое уравнение. Значит:

$x_o=-x_o$

$2x_o=0$

$x_o=0$

Подставим это значение в уравнение:

$sqrt{(a-5)^4}=|a-5|+|-a+5|$

$(a-5)^2=|a-5|+|-(a-5)|$

$(a-5)^2=|a-5|+|a-5|$

$|(a-5)|^2=2|a-5|$

$|(a-5)|^2-2|a-5|=0$

$|a-5|(|a-5|-2)=0$

$a=5, a=7,a=3$

Не торопимся записывать эти значения в ответ. Обратите внимание, что это только претенденты на ответ. Теперь каждое значение нужно аккуратно подставить в изначальное уравнение, и проверить, на количество корней. Те значение. которые будут давать больше 1 корня, мы в ответ записывать не будем(по условию).

$a=3$

$sqrt{x^4+16}=|x-2|+|x+2|$

Решаем это уравнение с модулями на промежутках.

$1)xin(-infty ;-2]$

$sqrt{x^4+16}=-x+2-x-2$

$sqrt{x^4+16}=-2x$

$x^4+16=4x^2$

$x^4+16-4x^2=0$

$x^2=t;t geq 0$

$t^2-4t+16=0$

$D=16-16*4<0$

$2) xin(-2;2]$

$sqrt{x^4+16}=-x+2+x+2$

$sqrt{x^4+16}=4$

$x^4+16=16$

$x=0$

$3)xin (2;+infty)$

$sqrt{x^4+16}=x-2+x+2$

$sqrt{x^4+16}=2x$

Заметим, что это ситуация аналогична пункту 2, решений тут нет.

Теперь складываем все полученные корни и того: 1 корень. Значит это значение пойдет в ответ.

$a=5$

$sqrt{x^4}=|x|+|x|$

$x^2=2|x|$

$|x|(|x|-2)=0$

$x=0,x=2,x=-2$

Это значение не подходит, так как тут целых 3 корня.

$a=7$

$sqrt{x^4+16}=|x+2|+|x-2|$

Заметим, что это уравнение копия уравнения, при a=3, значит тут будет всего 1 корень, и это значение нм подходит.

Ответ: a=3,a=7.

Answer 4

а сколько там решений, просвети!

Answer 5

подставьте, пожалуйста,не забывая, что там минус...

Answer 6

ну же, свет

Answer 7

ребят, не ссорьтесь. Canec007 правильно решил. и там + а не -.