Question

Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями y²=x³, х=0, у=4

Answer 1

у²=х³ это полукубическая парабола, проходит через точки (0,0), (1,1), (-1,1).Её ветви в 1 и 4 четвертях .Так как даны ещё прямые х=0 и у=4, то область будет в 1 четверти.
Точки пересечения линий:

$y=4,y^2=x^3,\\16=x^3,x=sqrt[3]{16}\\y^2=x^3; to ; y=pm sqrt{x^3}\\S=int_0^{sqrt[3]{16}}(4-sqrt{x^3})dx=(4x-frac{x^{frac{5}{2}}}{frac{5}{2}})|_0^{sqrt[3]{16}}=4cdot sqrt[3]{16}-frac{2}{5}(sqrt[3]{16})^{frac{5}{2}}=\\=4cdot 2sqrt[3]2-frac{2}{5}cdot (16)^{frac{5}{6}}=8sqrt[3]2-frac{2}{5}cdot 2^{frac{10}{3}}=8sqrt[3]2-frac{2}{5}cdot 8sqrt[3]2=frac{24}{5}sqrt[3]2$