Question

Пусть t1, t2 - корни квадратного уравнения t^2 - t - 4 = 0. Известно, что t1^5 + 29t2 является целым числом. Найдите это число.

Answer 1

По теореме Виета 
$t_{1}t_{2}=-4\ t_{1}+t_{2}=1\\ t_{1}^5+29t_{2}=N$
Так как корни имеют вид 
$t_{1}=frac{a+b}{2}\ t_{2}=frac{a-b}{2}\ t_{1}+t_{2}=1\ a=1\ t_{1}t_{2}=1-b^2=4*-4\ b=sqrt{17}\\ t_{1}^5+29t_{2}=(frac{a+b}{2})^5+29*frac{a-b}{2}=\\ frac{a^5+b^5+5ab(a+b)((a+b)^2-ab)}{32}+frac{29a-29b}{2}=\\ frac{1+sqrt{17}^5+5sqrt{17}(1+sqrt{17})((sqrt{17}+1)^2-sqrt{17})}{32}+frac{29-29sqrt{17}}{2} =\\ frac{1+289sqrt{17}+(5sqrt{17}+85)(18+sqrt{17})+16*29+16*29sqrt{17}}{32} = \\ frac{465+289sqrt{17}+90sqrt{17}+85*19+85sqrt{17} -464sqrt{17}}{32} = 65$ 



Ответ $65$