Question

Даны точки М(1; 3), N(7; 5), К(5; -1). Найдите координаты векторов МN, NК, МK, и их модули. Установите вид треугольника МNК.

Answer 1

Каждая координата вектора определяется разностью соответствующих координат его конца и начала
$vec{AB}= (x_B-x_A;y_B-y_A)$
$vec {MN}=(7-1;5-3)=(6;2) \ vec {NK}=(5-7;-1-5)=(-2;-6) \ vec {MK}=(5-1;-1-3)=(4;-4)$

Модуль вектора определяется как квадратный корень из суммы квадратов его координат
$vec{AB}= sqrt{x^2+y^2}$
$|vec {MN}|= sqrt{6^2+2^2} = sqrt{40} =2 sqrt{10} \ |vec {NK}|= sqrt{(-2)^2+(-6)^2}= sqrt{40}=2 sqrt{10} \ |vec {MK}|= sqrt{4^2+(-4)^2}= sqrt{32} =4 sqrt{2}$

Так как длины двух сторон треугольника равны, то есть он равнобедренный, то в любом случае углы при его основании будут острыми. Найдем угол, противолежащий основанию, и по его величине определим вид треугольника
$cos alpha = frac{x_1x_2+y_1y_2}{ sqrt{x_1^2+y_1^2}cdot sqrt{x_2^2+y_2^2}}$
Находить угол N будем как угол между двумя векторами: NK (известен) и NM (противоположный вектору MN, следовательно имеющий противоположные координаты)
$cos N= frac{(-6)cdot(-2)-2cdot(-6)}{ sqrt{(-6)^2+(-2)^2}cdot sqrt{(-2)^2+(-6)^2}} = frac{24}{ 40} >0$
Так как косинус угла положителен, то сам угол острый. Значит в треугольнике все три угла острых и поэтому он является остроугольным