Question

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC.

Answer 1

Биссектриса делит сторону, на которую пришла, в том же отношении, что и две другие стороны треугольника. По условию (прочтите внимательно!) , АВ: АМ = 2:3, поэтому КМ=3/2 ВК. Стало быть, площадь треугольника АКМ = 2/5 площади треугольника АВМ. А поскольку медиана делит треугольник на два равновеликих, то площадь треугольника АКМ - 1/10 площади АВС. 
Ровно тому же равна и площадь треугольника КМС (попробуйте догадаться, почему именно) . 
Треугольник КСР (второй кусок нужногонам четырёхугольника) - это часть треугольника ВКС. Причём отношение площадей ВКР и КРС известно, по тому же свойству биссектрисы. С другой стороны, площадь КСР - это площадь ВМС минус площадь КМС, а она нам уже известна. Так что в итоге можно сообразить, каковая площадь КСР.