Question

доказать теорему синусов

Answer 1

Пусть в треугольнике ABC, сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CA = b. Попытаемся доказать, что a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Воспользуемся теоремой о площади треугольника, и запишем её для каждой пары сторон и соответствующего им угла:S = (1/2)*a*b*sin(C),S = (1/2)*b*c*sin(A),S = (1/2)*c*a*sin(B).Так как левые части у первых двух равенств одинаковые, то правые части можно приравнять между собой. Получим (1/2)*a*b*sin(C) = (1/2)*b*c*sin(A). Сократим это равенство на ½*b, получим:a*sin(C) = c*sin(A).По свойству пропорции получаем: a/sin(A) = c/sin(C).Так как левые части у второго и третьего равенств одинаковые, то правые части можно приравнять между собой. Получим (1/2)*b*c*sin(C) = (1/2)*c*a*sin(B). Сократим это равенство на 1/2*c, получим: b*sin(A) = a*sin(B).По свойству пропорции получаем:a/sin(A) = b/sin(B).Объединив полученные два результата получаем: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Что и требовалось доказать.