Question

Очень хочется разобраться. Помогите, пожалуйста!:) Алгебра, 9 класс.
Найдите все такие пары чисел (x, y), что выражение (на картинке) принимает минимальное значение. Спасибо большое :))

Answer 1

Можно задачу интерпретировать в геометрию . 
Сами выражения  
$sqrt{(x-2)^2+y^2}+sqrt{x^2+(y-4)^2}...$ представляют собой длины отрезков . 
Если задачу рассматривать с геометрической точки зрения , получим 
некие точки , обозначим  $A(2;0)\ C(0;4)\ E(4;3)\ H(-2;1)$,
и некая  точка $G(x;y)$. Требуется найти такую  точку что сумма расстояний от точки $G$ , к вершинам $A;C;E;H$ была минимальной. 
Заметим что если обозначить в координатной плоскости $oXY$  , получим параллелограмм $ACEH$ . 
Длины сторон $CE=sqrt{13}\ AE=sqrt{17}$ , все по той же формуле $L=sqrt{(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2}$ .  
Видно что минимальное значение будет , это точка пересечения диагоналей. 
Точка $G(x;y)$ есть точка пересечения диагоналей. 
Так как в точке пересечения диагонали делятся пополам. 
То получим 
 $sqrt{(4-x)^2+(3-y)^2}=sqrt{(-2-x)^2+(1-y)^2}$ 
 $sqrt{(2-x)^2+y^2}=sqrt{x^2+(4-y)^2}$
$(4-x)^2+(3-y)^2=(-2-x)^2+(1-y)^2\ (2-x)^2+y^2=x^2+(4-y)^2\\ -12x-4y+20=0\ 8y-4x-12=0\\ x=1\ y=2$ 
Для проверки можно положить  
 $S(y)=sqrt{1+y^2}+sqrt{1+(y-4)^2}+\ sqrt{9+(y-3)^2}+sqrt{9+(y-1)^2}$
 Рассмотреть функцию , находя производную приравняв к 0 , получим $y=2$ 

 Ответ $x=1;y=2$ минимальное значение равно  $sqrt{40}+sqrt{20}$   
 
 

Answer 2

Спасибо большое!:)