Question

В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равна 5, перпендикулярна основаниям AD и BC, сумма острых углов А и С равна 90 градусов. Найдите длину меньшего основания трапеции, если большая диагональ равна 13. 

Answer 1

Обозначим точку пересечения диагоналей  $O$ ,  треугольники $BOC;AOD$ подобны .  Так же   $ABD;DCB$  откуда получаем 
$frac{BC}{5} = frac{5}{AD}\ BC*AD=25$. 
Положим что $OC=x;OB=y$  получаем  $frac{x}{13-x}=frac{y}{5-y}$ .  
Так как угол  $DBC=90а\ BDA=90а$ , по теореме Пифагора  получаем 
$y^2+BC^2=x^2\ (5-y)^2+AD^2=(13-x)^2$.
Получаем систему уравнения     
  $5x=13y\ AD=frac{25}{BC}\\ BC^2+frac{25x^2}{169}=x^2\ (5-frac{5x}{13})^2+frac{625}{BC^2}=(13-x)^2$
подставляя во второе получаем что  $BC=6+sqrt{11}>0$  это меньшее основание