Question

3^2x-(a-2)3^x-2a=0
при каком а уравнение имеет решение?

Answer 1

если сделать замену z=3^x, то получим обычное квадратное уравнение

$z^2-(a-2)z-2a=0$
есть корни если $D geq 0$

$D=(a-2)^2+8a=a^2+4a+4=(a+2)^2 geq 0$
дискрименант больше или равен нуля при любых а

но нужно еще проверить условие $3^x=z>0$

1) $z_1= dfrac{a-2+ sqrt{(a+2)^2} }{2} =dfrac{a-2+ |a+2| }{2}$
если $a geq -2$
$z_1=dfrac{a-2+ a+2 }{2} = a$
значит должно быть что а>0

если $a<-2$
$z_1=dfrac{a-2-a-2 }{2} =-1$ - не удовл.  $3^x=z>0$

2) $z_2= dfrac{a-2- sqrt{(a+2)^2} }{2} =dfrac{a-2- |a+2| }{2}$
если $a geq -2$
$z_1=dfrac{a-2- a-2 }{2} = -1$ Не удовл.


если $a<-2$
$z_1=dfrac{a-2+a+2 }{2} =a<-2$ - не удовл.  $3^x=z>0$ 

Ответ а>0