Question

Катеты прямоугольного треугольника. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20 см.Из вершины прямого угла проведена биссектриса.На какие отрезки разделилась гипотенуза?

Answer 1

Есть теорема о биссектрисе. Воспользуемся её доказательством для решения задачи.
ABC - прямоугольный треугольник, AC = 15 см, BC = 20 см. CD - биссектриса.
Через вершину B проведём отрезок, параллельный биссектрисе CD, и продолжим сторону AC до пересечения данного отрезка в точке E (см. рис.).
$angle DCB=angle CBE=45^o$ как накрест лежащие при параллельных CD и BE и секущей BC.
$angle BEC=angle ACD=45^o$ как соответственные при параллельных CD и BE и секущей AE.
Следовательно, треугольник BCE равнобедренный, BC = CE = 20 см.
По теореме Фалеса
$frac{AD}{AC}=frac{BD}{CE}Rightarrowfrac{AD}{BD}=frac{AC}{CE}=frac{15}{20}=frac34$
Гипотенуза делится на 7 частей, из них 3 части - отрезок AD, 4 части - отрезок BD.
Из треугольника ABC по т.Пифагора найдём длину гипотенузы AB
$AB=sqrt{AC^2+BC^2}=sqrt{15^2+20^2}=sqrt{225+400}=sqrt{625}=25$ см.
$AD=frac37cdot25=frac{75}7=10frac57$ см.
$BD=frac47cdot25=frac{100}7=14frac27$ см.