Question

В трапеции ABCD (AB||CD) на диагонали AC взята точка P и через нее проведена прямая MN параллельно прямой AB (точка M лежит на прямой AD, точкаN – на BC,  Где на прямой AC надо взять точку P, чтобы сумма площадей треугольников APM и CPN была наименьшей

Answer 1

Продолжу , положим что $frac{AP}{AC}=y$  , из следствия что треугольники $ABC,CPN$ подобны , так же как и  $AMP;ADC$ , получим  
$frac{S_{CPN}}{S_{ABC}}=frac{PC}{AC}\\ frac{PC}{AC}=frac{AC-AP}{AC}=1-y\\ S_{CPN}=S_{ABC}(1-y)^2\\ frac{S_{AMP}}{S_{ADC}}=frac{AP}{AC}=y\\ S_{AMP}=S_{ADC}y^2$ 

$S=S_{ABC}(1-y)^2+y^2S_{ADC}\\ S=frac{AB*H}{2}(1-y)^2+y^2*frac{DC*H}{2}\\ frac{2S}{H}=AB(1-y)^2+y^2DC\\ f(y)=AB(1-y)^2+y^2DC\\ f'(y)=-AB+ABy+DCy=0\\ AB(y-1)+DCy=0\\ AB(1-y)=DCy\\ frac{AB}{DC}=frac{y}{1-y}\\ frac{AP}{PC}=frac{AB}{DC}$ 
а по свойству  диагональ делить треугольники на подобные что соответствую исходному, а остальные два треугольник будут равны 
 Ответ при пересечений диагоналей 

Answer 2

Спасибо Вам огромное, за то, что вы мне так помогаете. Если вам не трудно, решите пожалуйста оставшиеся задачи у меня в профиле