Question

1)в остроугольном треугольнике АВС,угол А=78 градусов,ВD и СЕ высоты пересекающиеся в точке О.Найдите угол DOE.
2)Окружность вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 18 и 50.Прямая проходящая через центр окружности  и вершину трапеции отсекает от трапеции треугольник.Найдите отношение площади треугольника к площади трапеции.

Answer 1

треугольникАВС, уголА=78, ВД и СЕ-высоты, треугольник АСЕ прямоугольный, уголАСЕ=90-уголА=90-78=12, треугольник ДОС прямоугольный, уголДОС=90-уголАСЕ=90-12=78, уголДОЕ=180-уголДОС=180-78=102

трапеция АВСД, АВ=СД, уголА=уголД, уголВ=уголС, ВС=18, АД=50, центр О-пересечение биссектрис углов трапеции, ВМ-прямая проходящая через вершину , центр О на АД =биссектриса угла В, угол АВМ=уголМВС=1/2уголВ, уголМВС=уголАМВ как внутренние разносторонние=уголАВМ, треугольник АВМ равнобедренный, АВ=АМ,

в трапецию можно вписать окружность если сумма оснований=сумма боковых сторон, ВС+АД=АВ+СД, 18+50=2АВ, АВ=СД=34=АМ, проводим высоты ВН и СК на АД, НВСК-прямоугольник ВС=НК=18, треугольник АВН=треугольник КСД как прямоугольные по гипотенузе и острому углу, АН=КД=(АД-НК)/2=(50-18)/2=16, треугольник АВН, ВН-высота трапеции и треугольника АВМ=корень(АВ в квадрате-АН в квадрате)=корень(1156-256)=30,

площадьАВСД=1/2*(ВС+АД)*ВН=1/2*(18+50)*30=1020

площадь АВМ=1/2АМ*ВН=1/2*34*30=510

площадьАВМ/площадьАВСД=510/1020=1/2