Question

Докажите, что при любом натуральном n, большем 1,выражение $7^{2n}-4^{2n}-297$ делится на 264

Answer 1

264=33*8

Докажем, что выражение $7^{2n}-4^{2n}-297$ кратно 33 и 8.

Преобразуем: $7^{2n}-4^{2n}-297=49^n-16^n-33*9=(49-16)(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33cdot <var>(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9)</var>$

То есть $7^{2n}-4^{2n}-297$ кратно 33.

Рассмотрим второй множитель, состоящий из нескольких слагаемых $(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33cdot <var>(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9)</var>$. Все слагаемые, которые содержат множитель 16 в той или иной степени, кратны 8.

Обратимся к тем слагаемым, которые не содержат такого множителя, то есть к разности $49^{n-1}-9$.

Преобразуем $49^{n-1}-9=7^{2(n-1)}-9=((8-1)^2)^{n-1}-(8+1)=(8^2-2cdot8+1)^{n-1}-(8+1)=64^{n-1}-16^{n-1}+1^{n-1}-8-1=64^{n-1}-16^{n-1}-8$. Каждое из алгебраических слагаемых делится на 8, значит, разность $49^{n-1}-9$ также кратна 8.

Следовательно, множитель $(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33cdot <var>(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9)</var>$ кратен 8.

Таким образом выражение $7^{2n}-4^{2n}-297$ кратно 33 и 8, то есть кратно 264, ч.т.д..